Tin tức/(Trường THCS Nhân Hòa)/HOẠT ĐỘNG CHUYÊN MÔN/
Tham luận Làm thế nào để học sinh làm tốt các bài toán phân tích đa thức thanh nhân tử

Họ tên giáo viên: Trần Thị Hồng Quyên  

 Giáo viên: Trường THCS Nhân Hòa

                                               THAM LUẬN

 

Làm thế nào để học sinh lam tốt các bài tập phân tích đa thức thành nhân tử.

 

       Phân tích đa thức thành nhân tử là một nội dung quan trọng trong chương trình Toán 8 và là nền tảng cho sự rèn luyện tư duy, kỹ năng giải toán của học sinh THCS.

       Nội dung này đ­ược giới thiệu trong ch­ương trình Toán lớp 8 và có thể coi là nội dung nòng cốt của ch­ương trình. Vì nó đư­ợc vận dụng rất nhiều ở các ch­ương sau, trong các phần: Rút gọn phân thức, quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi đồng nhất biểu thức hữu tỉ, giải phư­ơng trình, …. . Thực tế giảng dạy cho thấy, số tiết giảng dạy cho phần này không nhiều, bài tập chỉ mang tính minh họa nên đa số học sinh còn lúng túng. Học sinh khá giỏi thì còn rất nhiều vấn đề của kiến thức chưa được đề cập tới . Bài tập chưa đủ kích thích sự tìm tòi, khả năng tư duy sáng tạo cho học sinh.

       Đặc biệt kỹ năng phân tích đa thức thành phân tử là một kỹ năng cơ bản quan trọng, nếu nắm vững và thành thạo kỹ năng này thì học sinh  có khả năng giải quyết được nhiều vấn đề trong chương trình Đại số lớp 8 và lớp 9 cũng như nhiều vấn đề Toán học khác có liên quan, tìm được lời giải hay và ngắn gọn cho một bài toán. Nhưng nhiều lúc việc phân tích đa thức thành nhân tử thật không dễ chút nào, nhất là trong trường hợp các đa thức cần phân tích có bậc cao, hệ số lớn, phức tạp.

       Để giúp cho tất cả học sinh đại trà và học sinh khá giỏi đạt kết quả tốt trong việc phân tích đa thức thành nhân tử là một vấn đề cần đ­ược quan tâm. Sau khi giới thiệu những phư­ơng pháp cơ  bản có ví dụ cụ thể,  cần có các bài tập vận dụng tổng hợp các phương pháp trên.

* CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

          Để phân tích một đa thức thành nhân tử có rất nhiều phương pháp khác nhau, nhưng chúng ta thường sử dụng một số phương pháp thông dụng như sau:

*    Đặt nhân tử  chung.

*    Sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ.

*    Nhóm các hạng tử.

*    Phối hợp nhiều phương pháp.

*    Tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử.

*    Đổi biến số (đặt ẩn phụ).

*    Thêm bớt cùng một hạng tử.

*    Dùng hệ số bất định.

*    Tìm nghiệm của đa thức.

1.1. Phương pháp đặt nhân tử chung

  1.1.1. Phương pháp :

          + Trước hết, ta tìm nhân tử có mặt trong tất cả các hạng tử của đa thức. Đó là nhân tử chung.

          + Phân tích mỗi hạng tử của đa thức thành tích của nhân tử chung và một nhân tử khác.

          + Đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc.

    1.1.2.Khai thác bài toán: 

     Nếu chú ý đến các hạng tử của các biểu thức và bằng cách đặt thừa số chung, ta có thể giải các bài toán tương tự như sau:

Bài toán 1.1: Phân tích đa thức

    Q = (x + 2z)(3x2 + 5x2y) – (7x2 – 3x2y)(2z + x)

Bài toán 1.2: Phân tích đa thức

    P = 3a(b2 – 2c) – (a – 4)(2c – b2)

Bài toán 1.3: Phân tích đa thức

    H = 3xmy – 9xny2 + 15xn+1     với m, n N, m > n. 

 1.2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức.

     1.2.1. Phương pháp:

          Để áp dụng phương pháp này, ta cần biến đổi các hạng tử để làm xuất hiện các hằng đẳng thức (nếu có thể). Sau đó dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử.

    1.2.2. Khai thác bài toán: 

    Bằng cách dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ , ta có thể giải các bài toán tương tự như sau:

Bài toán 1.1: Phân tích đa thức

Bài toán 1.2: Phân tích đa thức

Bài toán 1.3: Phân tích đa thức

 1.3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử:

     1.3.1. Phương pháp:

                   Sử dụng tính chất giao hoán và tính chất kết hợp của phép cộng các đơn thức, ta có thể kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm. Trong mỗi nhóm này, ta áp dụng liên tiếp các phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức để tiếp tục phân tích.

                   Lưu ý:   Thường thì ta sẽ có nhiều cách nhóm các hạng tử khác nhau

   1.3.2. Khai thác bài toán: 

     Nếu chú ý đến phương pháp nhóm các hạng tử, ta có thể giải các bài toán tương tự như sau:

Bài toán 1.1: Phân tích đa thức

    E = 3x3 – 75x + 6x2 – 150

1.4. Phối hợp các phương pháp.

    1.4.1. Phương pháp:

          Để phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều  phương pháp, ta nên chú ý chọn các phương pháp theo thứ tự ưu tiên như sau :

           Bước 1:  Đầu tiên ta xét xem các hạng tử có xuất hiện nhân tử chung hay không?

*    Có nhân tử chung:  Áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung. Sau đó ta xem đa thức trong ngoặc là bài toán mới và quay lại với bước 1 và tiếp tục thực hiện đến kết quả cuối cùng.

*    Nếu không có nhân tử chung, chuyển sang bước 2.

        Bước 2:  Nếu đa thức có dạng của một hàng đẳng thức thì áp dụng phương pháp hằng đẳng thức. Nếu không thì chuyển qua bước 3.

          Bước 3:  Dùng phương pháp nhóm hạng tử thích hợp để xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung.

    1.4.2.Khai thác bài toán: 

     Bằng phương pháp phối hợp các phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử, ta có thể giải các bài toán tương tự như sau:

Bài toán 1.1: Phân tích đa thức

    I = 

Bài toán 1.2: Phân tích đa thức

    K = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy

1.5. Phương pháp tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử.

     1.5.1. Phương pháp:

          Có một số đa thức không có nhân tử chung cũng không có dạng hằng đẳng thức nên việc phân tích thành nhân tử là rất khó. Vì thế ta nên tách một hạng tử thành hai hoặc nhiều hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử hơn rồi dùng phương pháp  nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung để phân tích tiếp.

     1.5.2. Khai thác bài toán: 

     Bằng phương pháp tách hạng tử (chủ yếu là hạng tử tự do và các hạng tử bậc thấp), ta có thể giải các bài toán tương tự như sau:

Bài toán 1.1: Phân tích đa thức

   H = x2 – 21x + 38

Bài toán 1.2: Phân tích đa thức

    I = x4 + 5x2 – 14

Bài toán 1.3: Phân tích đa thức

    K = x2 + 4x – 21

 1.6. Phương pháp đổi biến số ( đặt ẩn phụ).

     1.6.1 Phương pháp: 

          Trong một số bài toán, ta nên đưa một biến phụ vào để việc giải bài toán được gọn gàng, tránh nhầm lẫn. Đặt ẩn phụ để đưa về dạng tam thức bậc hai  rồi sử dụng các phương pháp  cơ bản khác và tiếp tục phân tích

1.7. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử.

     1.7.1. Phương pháp :

          Thêm bớt cùng một hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử hơn có dạng hằng đẳng thức rồi dùng phương pháp  nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung để tiếp tục phân tích. Thông thường hay đưa về dạng  các hằng đẳng thức đáng nhớ sau khi thêm bớt.

  1.6.2.Khai thác bài toán: 

     Bằng phương pháp thêm bớt hạng tử, ta có thể giải các bài toán tương tự như sau:

Bài toán 1.1: Phân tích đa thức

    M = x4 + 4y4

Bài toán 1.2: Phân tích đa thức

   N = x4 + x2 + 1

Bài toán 1.3: Phân tích đa thức

   P = (1 + x2)2 – 4x(1 + x2)

1.8. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định:

1.8.1. Phương pháp :        

          Nếu trên một tập hợp số nào đó mà hai đa thức f(x) và g(x) đồng nhất với nhau, tức là ứng với mọi giá trị của biến lấy trên tập hợp số đã cho mà f(x) và g(x) luôn có các giá trị bằng nhau thì hệ số của các hạng tử cùng bậc là bằng nhau.

    1.8.3. Khai thác bài toán: 

     Bằng phương pháp hệ số bất định và với cách giả như trên, ta có thể giải các bài toán tương tự như sau:

1.9. Phương pháp tìm nghiệm của đa thức:

1.9.1.  Phương pháp:  

          Cho đa thức f(x), a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0. Như vậy nếu đa thức f(x) chứa nhân tử (x – a) thì a phải là nghiệm của đa thức. Ta đã biết rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ước của hệ số tự do.   

     Œ  Nếu đa thức P(x) có một nghiệm là x = a thì ta có thể phân tích P(x) thành tích của hai thừa số là (x – a) và Q(x).

          P(x) = (x – a)Q(x)

Muốn tìm Q(x), ta hãy chia P(x) cho (x – a). Sau đó lại áp dụng để phân tích tiếp Q(x).

     v  Nếu đa thức P(x) có hai nghiệm phân biệt là x = a và x= b thì ta có thể phân tích đa thức P(x) thành tích của ba thừa số là (x – a), (x – b) và Q(x).

          P(x) = (x – a)(x – b) Q(x)

     Muốn tìm Q(x), ta hãy chia P(x) cho tích số  (x – a)(x – b) = x2 + (a + b)x + ab, ta có thương đúng của phép chia là Q(x). Sau đó lại áp dụng để phân tích tiếp Q(x).

     Ž Nếu đa thức P(x) có nghiệm kép x1 = x2 = a thì sao?

Thế nào là nghiệm số kép?

Giả sử P(x) có một nghiệm là x = a suy ra P(x) = (x – a)Q(x).

           Q(x) lại có một nghiệm x = a suy ra Q(x) = (x – a)R(x).

     Do đó, ta có : P(x) = (x – a)2R(x).

Ta nói đa thức P(x) có nghiệm kép x1 = x2 = a

     Vậy nếu đa thức P(x) có nghiệm kép x1 = x2 = a thì P(x) = (x – a)2R(x).

  Bản thân tôi đã nghiên cứu và đưa ra được một cách có hệ thống các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Có phương pháp, có ví dụ minh họa, có bài tập khai thác làm chủ đề trở lên đơn giản rễ hiểu.

        Dù số lượng học sinh chưa nhiều, song qua giảng dạy bồi dưỡng trực tiếp tôi thấy được học sinh đã nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. Đặc biệt tỉ lệ học sinh làm được các dạng bài vận dụng khá cao.

        Có thể nói, việc hệ thống kiến thức mỗi chủ đề một cách khoa học có tác dụng tốt không chỉ với giáo viên mà còn tác động trự tiếp đến khả năng tiếp thu và hứng thú của học sinh.

Trên đây là một số phương pháp mà tôi đã giảng dạy rất mong sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp.

 Xin trân trọng cảm ơn

Tác giả: Hồng Quyên

Xem thêm

Văn bản mới

BÀI HỌC ĐẦU TIÊN
Múa kỷ niệm mái trường trong lễ đón chuẩn năm học 2015-2016
dạy học theo VNen môn Âm nhạc 6
NÓI CHUYỆN HỌC NHƯ THẾ NÀO
  • Ba công khai
  • Thông báo

Kết quả thi khoa học kĩ thuật

kết quả thi khoa học kỹ thuật nhà trường

QUY CHẾ CHI TIÊU NỘI BỘ NĂM HỌC 2016-2017

QUY CHẾ CHI TIÊU NỘI BỘ NĂM HỌC 2016-2017

KẾ HOẠCH Công tác pháp chế năm học 2016 - 2017

KẾ HOẠCH Công tác pháp chế năm học 2016 - 2017

Quy tắc ứng xử văn hóa trường THCS Nhân Hòa

Quy tắc ứng xử văn hóa trường THCS Nhân Hòa

Quy chế làm việc năm học 2018-2019

Quy chế làm việc năm học 2018-2019
Xem thêm...